小小的吐槽

最近有一些事情，也开始迷茫，所以就开始松懈起来，每天给自己摸鱼找由头。三月返校的时候就妄想着每天要有合理的科研时间安排，现在都五月了，还是这样。这周末要出去做汇报，猛地一想，不能再这样下去了，不然博士都读废了。

写在前面

五一前就听了许志强老师的学术报告，带来了最新的研究进展，梳理了很长时间的科研逻辑。当我听到他说有的方法试了一两年行不通就果断换思路，很强也很有魄力。下面记录我感兴趣的部分内容。

报告内容

首先是标题，稀疏信号的相位检索。这个其实一直是研究热点，我在Jian-Feng Cai老师主页上也经常见到相关问题，而且还找到他们的合作文章^[1]。嗯，加入reading list了。

回到报告中，这次报告的内容分两个部分，应该稀疏表示和相位检索。

其中相位检索问题如下：

我们知道矩阵\(A\)的列向量，通过与未知向量\(\boldsymbol{x}\)做内积的平方观测到数\(y_1,\ldots,y_m\)，期望通过观测值求得向量\(\boldsymbol x\)，而非线性在于绝对值取平方。相位有关的解释是：复向量\(\boldsymbol x\)的角度全部都被内积平方给去除了，观察到的都是实数，这里面可能有一定的物理背景。

下面引入了一个线性算子\(\mathcal A\)来替代内积。具体来说 \[ \mathcal A(X)=(a_1^*Xa_1,\ldots,a_m^*Xa_m) \] 当对象是向量时就可以替代内积了 \[ \mathcal A(\boldsymbol x)=\mathcal A(\boldsymbol x\boldsymbol x^*)=(|\langle a_1,\boldsymbol x\rangle|,\ldots,|\langle a_m,\boldsymbol x\rangle|) \]

类似于压缩感知，稀疏相位检索就是满足稀疏信号的前提条件\(\|\boldsymbol x\|\leq s\)下来求恢复问题。至于这个参数\(s\)的下界，目前还在不断改进，slide里面有但是忘记拍了。

最后再补充一定记忆很深的凸函数之差(DCA)。因为本科有接触过，所以听到的时候还很诧异。相位检索问题可通过PhaseLift问题，即一个半正定规划问题求解 \[ \min_X \text{tr}(X)\quad\text{s.t.}\quad\mathcal A(X)=\mathcal A(X_0),X\succeq0 \] 引入正则化后改写为 \[ \min_{X\succeq0} \lambda\text{tr}(X)+\frac{1}{2}\|\mathcal A(X)-\boldsymbol b\|_2^2 \] 注意到 \[ \text{tr}(X)-\|X\|_F\geq0 \] 取等号时当且仅当\(\text{rank}(X)=1\)，因此正则项改为凸函数之差(DCA) \[ \min_{X\succeq0} \lambda(\text{tr}(X)-\|X\|_F)+\frac{1}{2}\|\mathcal A(X)-\boldsymbol b\|_2^2 \] 这种方法叫为PhaseLiftOff，具体的细节和理论参见文献^[2]。实验表明PhaseLiftOff优于PhaseLift。

对应参考文献如下。可以看出从14年就已经有很好的成果，到目前为止许老师主页上有17篇跟相位检索相关的文章(按标题检索)，而现在挂在ArXiv上还有几篇，仰慕一下。

写在后面

我本科接触的DCA是看娄老师用\(\ell_1-\ell_2\)范数来逼近的\(\ell_0\)范数，新的范数非凸且符合DCA框架的条件，因此就用上对应的迭代步骤。而此次报告中，许老师只是说先强迫第一项趋于0来保证等号成立的条件，一旦秩1满足对后续的求解有很大的帮助。这两种类型出发点不一样，但是都是使用DCA理论的迭代步骤求解。许老师这种使用方式对我而言，是一种对DCA的新认识。

References

1. J.-F. Cai, Y. Rong, Y. Wang, and Z. Xu, Data Recovery on a Manifold from Linear Samples: Theory and Computation, Annals of Mathematical Sciences and Applications, 3(1):337--365, 2018. ↩︎
2. Yu Xia, Zhiqiang Xu: Sparse phase retrieval via Phaseliftoff. CoRR abs/2008.09032 (2020) ↩︎