论坛 - 稀疏信号的相位检索
本文最后更新于:2021年5月13日 上午
小小的吐槽
最近有一些事情,也开始迷茫,所以就开始松懈起来,每天给自己摸鱼找由头。三月返校的时候就妄想着每天要有合理的科研时间安排,现在都五月了,还是这样。这周末要出去做汇报,猛地一想,不能再这样下去了,不然博士都读废了。
写在前面
五一前就听了许志强老师的学术报告,带来了最新的研究进展,梳理了很长时间的科研逻辑。当我听到他说有的方法试了一两年行不通就果断换思路,很强也很有魄力。下面记录我感兴趣的部分内容。
报告内容
首先是标题,稀疏信号的相位检索。这个其实一直是研究热点,我在Jian-Feng Cai老师主页上也经常见到相关问题,而且还找到他们的合作文章[1]。嗯,加入reading list了。
回到报告中,这次报告的内容分两个部分,应该稀疏表示和相位检索。
其中相位检索问题如下:
我们知道矩阵\(A\)的列向量,通过与未知向量\(\boldsymbol{x}\)做内积的平方观测到数\(y_1,\ldots,y_m\),期望通过观测值求得向量\(\boldsymbol x\),而非线性在于绝对值取平方。相位有关的解释是:复向量\(\boldsymbol x\)的角度全部都被内积平方给去除了,观察到的都是实数,这里面可能有一定的物理背景。
下面引入了一个线性算子\(\mathcal A\)来替代内积。具体来说 \[ \mathcal A(X)=(a_1^*Xa_1,\ldots,a_m^*Xa_m) \] 当对象是向量时就可以替代内积了 \[ \mathcal A(\boldsymbol x)=\mathcal A(\boldsymbol x\boldsymbol x^*)=(|\langle a_1,\boldsymbol x\rangle|,\ldots,|\langle a_m,\boldsymbol x\rangle|) \]
类似于压缩感知,稀疏相位检索就是满足稀疏信号的前提条件\(\|\boldsymbol x\|\leq s\)下来求恢复问题。至于这个参数\(s\)的下界,目前还在不断改进,slide里面有但是忘记拍了。
最后再补充一定记忆很深的凸函数之差(DCA)。因为本科有接触过,所以听到的时候还很诧异。相位检索问题可通过PhaseLift问题,即一个半正定规划问题求解 \[ \min_X \text{tr}(X)\quad\text{s.t.}\quad\mathcal A(X)=\mathcal A(X_0),X\succeq0 \] 引入正则化后改写为 \[ \min_{X\succeq0} \lambda\text{tr}(X)+\frac{1}{2}\|\mathcal A(X)-\boldsymbol b\|_2^2 \] 注意到 \[ \text{tr}(X)-\|X\|_F\geq0 \] 取等号时当且仅当\(\text{rank}(X)=1\),因此正则项改为凸函数之差(DCA) \[ \min_{X\succeq0} \lambda(\text{tr}(X)-\|X\|_F)+\frac{1}{2}\|\mathcal A(X)-\boldsymbol b\|_2^2 \] 这种方法叫为PhaseLiftOff,具体的细节和理论参见文献[2]。实验表明PhaseLiftOff优于PhaseLift。
对应参考文献如下。可以看出从14年就已经有很好的成果,到目前为止许老师主页上有17篇跟相位检索相关的文章(按标题检索),而现在挂在ArXiv上还有几篇,仰慕一下。
写在后面
我本科接触的DCA是看娄老师用\(\ell_1-\ell_2\)范数来逼近的\(\ell_0\)范数,新的范数非凸且符合DCA框架的条件,因此就用上对应的迭代步骤。而此次报告中,许老师只是说先强迫第一项趋于0来保证等号成立的条件,一旦秩1满足对后续的求解有很大的帮助。这两种类型出发点不一样,但是都是使用DCA理论的迭代步骤求解。许老师这种使用方式对我而言,是一种对DCA的新认识。
References
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